Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan aplikasi MATLAB

     Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss.Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

      .

   

 Contoh :

 x + y + z  = 6

 x + 2y - z  =2

2x + y + 2z = 10

Langkah -langkah nya adalah sebagai berikut :

         1. Masukkan persamaan ke dalam matriks mengikuti persamaan berikut

       a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

       a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

       a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

              

        Perintah input matriks pada Matlab 

        A=[1 1 1; 1 2 -1; 2 1 2]
  B=[6;2;10]

  Sehingga menjadi : 

   Kemudian kedua matriks disatukan menjadi sebuah matriks baru,sebut saja matriks C

   Perintah input pada Matlab 

       C=[A B]
f      Output :

 

    Karena angka pertama pada baris pertama (a11)adalah 1 digunakan sebagai lead number untuk
    menol-kan a21 dan a31.
     a21 : Agar a21 menjadi 0 maka dikurangi dengan baris pertama (a1i)

    Perintah input : C(2,:) = C(2,:) - C(1,:)
  

           Perintah input :

           C(2,:) = C(2,:) - C(1,:)

  ---> C(2,:) dapat dibaca sebagai matriks C baris ke-2 dan seluruh kolomnya

        ---> C(1,:) dapat dibaca sebagai matriks C baris ke-1 dan seluruh  kolomnya

        ---> Sehingga C(2,:) = C(2,:) - C(1,:) dapat dibaca sebagai  
          matriks C baris ke-2  dan seluruh kolomnya = matriks C baris ke-2 dan  
          seluruh kolomnya - matriks C baris ke-1 dan seluruh kolomnya 

        Output :
   

Baris ke_2 - Baris ke_1

    

        a31 : Agar a31 menjadi 0 maka dikurangi dengan baris pertama (a1i)*2

        Perintah input : C(3,:) = C(3,:) - C(1,:)*2

        Output :
       

Baris ke_3 - Baris ke_1 *(2)

f.               Karena angka kedua pada baris kedua (a2.2) yang juga merupakan diagonal adalah 1
         maka baris itu digunakan sebagai lead number untuk menol-kan a12 dan a32.
         a32 : Agar a32 menjadi 0 maka ditambah dengan baris kedua (a2i)
         Perintah input : C(3,:) = C(3,:) + C(2,:)
         Output :
      

Baris ke_3 + Baris ke_2

                 a12 : Agar a12 menjadi 0 maka dikurangi dengan baris kedua (a1i)

            Perintah input : C(1,:) = C(1,:) - C(2,:)

       Output :
      

Baris ke_1 - Baris ke_2

           Karena angka ketiga baris ketiga bukanlah 1 maka harus dirubah dulu menjadi satu 
        untuk selanjutnya digunakan sebagai lead number guna menol-kan a 13 dan a 23,
        caranya adalah dibagi dengan -2 
        a33 : Agar a33 menjadi 1 maka dibagi dengan-2

        Perintah input : C(3,:) = C(3,:) / -2

        Output : 
     

Baris ke_3 / -2

 Karena a33 yang merupakan diagonal telah menjadi 1 maka dapat digunakan sebagai lead
     number untuk menol-kan a13 dan a23

        a23 : Agar a23 menjadi 0 maka ditambah  dengan a3i*(2)

        Perintah input : C(2,:) = C(2,:)  +  C(3,:) * 2

        Output : 

Baris ke_2 + Baris ke_3*(2)

         a13 : Agar a13 menjadi 0 maka dikurangi dengan a3i*(3)

         Perintah input : C(1,:) = C(1,:)  -  C(3,:) * 3

         Output : 

Baris ke_1 - Baris ke_3*(3)

        3. Setelah matruks C membentuk matriks identitas seperti di atas ,maka tampilkan
            hasil x,y,z menggunakan perintah  C = (A\B)

          Output : 
       

X=1

  Y=2    Z=3

        Untuk membuktikan kebenarannya dapat diuji ke dalam persamaan 

         x + y + z = 6 ----> 1+2+3= 6 (terbukti)

         x + 2y - z = 2 ----> 1+2.(2)-3=2 (terbukti)

        2x + y + 2z = 10 ---->2(1)+2+2(3)=10 (terbukti)

        Demikanlah post saya,semoga dapat berguna.